贝叶斯定理的定义和实例

如何使用贝叶斯定理找到条件概率

Bayes' Theorem is presented in neon lights at the offices of Autonomy in Cambridge.

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贝叶斯定理是概率统计用一个数学公式 计算条件概率。换言之,它用于计算基于其与另一事件相关联的事件的概率。这个定理也被称为贝叶斯法或贝叶斯法则。

历史

贝叶斯定理被命名为英语兼统计学家牧师托马斯·贝叶斯,谁制定了一个方程式为他的工作‘朝机会的原则解决问题的文章。’之后贝叶斯死亡,手稿编辑和理查德价格在1763年出版会比较之前修正 准确 指定理作为贝叶斯价格规则,因为价格的贡献是显著。等式的现代制剂加入法国数学家皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯在1774年,谁不知道贝氏作品的设计。拉普拉斯被认为是负责发展的数学家 贝叶斯概率.

贝叶斯使得对定理

有几种不同的方式来写贝叶斯定理的公式。最常见的形式是:

P(A | B)= P(B | A)P(A)/ P(B)

其中a和b是两个事件和P(B)≠0

P(A | B)是 条件概率 事件的发生鉴于b为真。

P(B | A)是事件的条件概率b发生给定的一个是真实的。

P(A)和P(B)是一个概率和b彼此独立地(边际概率)的发生。

你可能希望找到有风湿性关节炎,如果他们有花粉症的人的概率。在这个例子中,“具有花粉症”是用于类风湿性关节炎(事件)的测试。

  • A 将事件“患者患有类风湿性关节炎。”数据表明在诊所的病人10%的具有这种类型的关节炎。 P(A)= 0.10
  • B 是测试“病人有花粉症”。数据表明患者在诊所5%的有花粉症。 P(B)= 0.05
  • 诊所的记录还显示,的类风湿关节炎患者,7%有花粉症。换言之,患者患有花粉症的概率,给出它们有风湿性关节炎,是7%。 B | A = 0.07

将这些值到定理:

P(A | B)=(0.07×0.10)/(0.05)= 0.14

因此,如果患者有花粉症,其具有类风湿性关节炎的机会是14%。这是一个不太可能 随机患者 花粉症具有类风湿性关节炎。

灵敏度和特异性

贝叶斯定理证明了优雅的效果 误报假阴性 在医学检查。

  • 灵敏度 是真阳性率。它是正确识别阳性的比例的量度。例如,在一个 怀孕测试,这将是妇女与妊娠试验阳性谁是怀孕的百分比。一个敏感的测试很少错过一个“积极的”。
  • 特异性 是真阴性率。它可以测量正确识别阴性的比例。例如,在妊娠试验,这将是妇女的妊娠试验阴性谁是没有怀孕的百分比。具体的测试很少登记假阳性。

一个完美的测试将是100%的敏感性和特异性。在现实中,测试有一个最低 错误 所谓贝叶斯错误率。

例如,考虑一个药物测试是99%的敏感性和特异性99%。如果人的半个百分点(0.5个百分点),使用的药物,什么是概率的素不相识的人以积极的测试实际上是一个用户?

P(A | B)= P(B | A)P(A)/ P(B)

也许改写为:

P(用户| +)= P(+ |用户)P(用户)/ P(+)

P(用户| +)= P(+ |用户)P(用户)/ [P(+ |用户)P(用户)+ P(+ |非用户)P(非用户)]

P(用户| +)=(0.99 * 0.005)/(0.99 * 0.005 + 0.01 * 0.995)

P(用户| +)≈33.2%

只有时间约33%的人会随意的人以积极的测试实际上是一个吸毒者。得出的结论是,即使一个人对药物测试呈阳性反应,它更可能他们做 使用药物比他们做的。换句话说,误报的数量比真阳性的数量。

在现实世界中的情况,权衡通常敏感性和特异性之间进行,这取决于它是否是更重要的是不能错过一个积极的结果还是它的最好不要标注阴性结果为阳性。